Калькулятор арифметической прогрессии

Введите данные
Результат
n-й член a_n = a₁ + (n−1)·d
29
Сумма S_n = n·(a₁+a_n)/2
155
Сумма S_n = n/2·(2a₁+(n−1)·d)
155
Средний член (a₁+a_n)/2
15,5
Второй член a₂
5
Третий член a₃
8

Смотрите также

Калькулятор геометрической прогрессии Калькулятор дробей Калькулятор среднего арифметического

Калькулятор арифметической прогрессии вычисляет n-й член и сумму первых n членов. Арифметическая прогрессия — последовательность, где каждый следующий член отличается от предыдущего на постоянное число d (разность). Например: 2, 5, 8, 11, 14, ... (d=3).

Официальный источник: Минпросвещения России

Формулы арифметической прогрессии

n-й член: a_n = a₁ + (n−1)·d. Сумма первых n членов: S_n = n·(a₁ + a_n)/2 = n/2·(2a₁ + (n−1)·d). Средний член = S_n/n = (a₁ + a_n)/2. Характеристическое свойство: a_n = (a_{n-1} + a_{n+1})/2 — каждый член равен среднему арифметическому соседей. Признак АП: если разность a_{n+1} - a_n = const для всех n — это арифметическая прогрессия.

Формула Гаусса для суммы 1+2+...+n

Классическая задача: сколько учеников в классе 1+2+3+...+100 = ? Это АП с a₁=1, d=1, n=100. S = 100×(1+100)/2 = 100×101/2 = 5 050. По легенде, школьник Гаусс в 9 лет решил эту задачу за секунды, заметив что попарное суммирование даёт: 1+100=101, 2+99=101, ..., 50+51=101. Таких пар 50, итого 50×101=5 050.

Арифметические прогрессии в жизни

Арифметическая прогрессия встречается везде, где есть равномерное изменение. Начисление простых процентов: 1000, 1100, 1200... (разность 100 ₽). Ступенчатый рост зарплаты на фиксированную сумму. Нумерация этажей, страниц, рядов. Ступени лестницы одинаковой высоты. Формула суммы: S = n/2 × (a₁ + aₙ) — удобнее для больших n. Легенда: юный Гаусс сложил числа от 1 до 100 за секунды: S = 100/2 × (1 + 100) = 5050. Это и есть формула суммы арифметической прогрессии.

Часто задаваемые вопросы

Как найти разность прогрессии, если известны два члена?
d = (a_k - a_m) / (k - m), где a_k и a_m — два известных члена с номерами k и m. Пример: a₃ = 8 и a₇ = 20: d = (20 - 8)/(7 - 3) = 12/4 = 3. Тогда a₁ = a₃ - 2d = 8 - 6 = 2. Проверка: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 — всё верно.
Чем отличается арифметическая прогрессия от геометрической?
АП: каждый следующий член = предыдущий + d (прибавление константы). Пример: 3, 7, 11, 15 (d=4). Линейный рост. ГП: каждый следующий = предыдущий × q (умножение на константу). Пример: 3, 6, 12, 24 (q=2). Экспоненциальный рост. Сумма бесконечной ГП при |q|<1 = a₁/(1-q). Сумма бесконечной АП — бесконечна.
Как найти разность прогрессии, зная два члена?
Если известны a₁ = 3, a₇ = 21, то d = (aₙ − a₁) / (n − 1) = (21 − 3) / (7 − 1) = 18 / 6 = 3. Проверка: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 — верно. Если известны не первый и n-й, а любые два члена aₖ и aₘ: d = (aₘ − aₖ) / (m − k).