Калькулятор геометрической прогрессии

Введите данные
Результат
n-й член b_n = b₁·q^(n−1)
384
Сумма S_n = b₁·(qⁿ−1)/(q−1)
765
Сумма бесконечной ГП (|q|<1)
0
Второй член b₂
6
Третий член b₃
12
lg(|b_n|)
2,584331

Смотрите также

Калькулятор арифметической прогрессии Калькулятор сложного процента Калькулятор среднего арифметического

Калькулятор геометрической прогрессии вычисляет n-й член и сумму первых n членов. ГП — последовательность, где каждый член получается умножением предыдущего на постоянное число q (знаменатель прогрессии). Пример: 3, 6, 12, 24, 48, ... (q=2).

Официальный источник: Минпросвещения России

Формулы геометрической прогрессии

n-й член: b_n = b₁ · qⁿ⁻¹. Сумма первых n членов при q≠1: S_n = b₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1). При q=1: S_n = b₁ · n. Сумма бесконечной убывающей ГП (|q| < 1): S = b₁ / (1 − q). Характеристическое свойство: b_n² = b_{n-1} · b_{n+1}. Каждый член — среднее геометрическое соседних.

Применение геометрической прогрессии

Сложные проценты: вклад 100 000 ₽ под 10% годовых — ГП с q=1.1. Через 10 лет: 100 000 × 1.1¹⁰ = 259 374 ₽. Демографический рост населения. Ядерная реакция деления: 1 нейтрон → 2 → 4 → 8... (q=2). Деление клеток: одна клетка → 2 → 4 → 8... Через 40 делений = 2⁴⁰ ≈ 1 трлн клеток. Ахиллес и черепаха (Зенон): 100 + 10 + 1 + 0.1 + ... = 100/(1-0.1) = 111.1 — ГП с q=0.1.

Геометрическая прогрессия и сложный процент

Геометрическая прогрессия описывает всё, что растёт (или убывает) с постоянным темпом. Сложные проценты: 1000 ₽ под 10% годовых — 1000, 1100, 1210, 1331... (знаменатель q = 1,1). Численность населения при постоянном приросте. Радиоактивный распад (убывающая прогрессия, q < 1). Доза лекарства при периодическом приёме. Закон Мура (удвоение числа транзисторов каждые ~2 года, q ≈ 1,41 в год). Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| < 1: S∞ = a₁ / (1 − q). Это используется в физике волн и финансовой математике.

Часто задаваемые вопросы

Как найти знаменатель прогрессии по двум членам?
q = (b_k / b_m)^(1/(k-m)). Пример: b₂ = 6, b₅ = 48: q = (48/6)^(1/(5-2)) = 8^(1/3) = 2. Тогда b₁ = b₂/q = 6/2 = 3. Проверка: 3, 6, 12, 24, 48 — всё верно.
Почему сумма бесконечной убывающей ГП конечна?
При |q|<1 каждый следующий член меньше предыдущего и стремится к 0. Сумма сходится: S = b₁/(1-q). Парадокс Зенона: стрела от лука до цели преодолевает половину, потом половину оставшегося, и т.д. Кажется, никогда не долетит. Но ряд 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 1/(1-0.5) = 2 — конечная сумма, конечное время!
Чем отличается геометрическая прогрессия от арифметической?
Арифметическая: каждый следующий член = предыдущий + d (постоянная разность). 2, 5, 8, 11... (d=3). Линейный рост. Геометрическая: каждый следующий член = предыдущий × q (постоянный знаменатель). 2, 6, 18, 54... (q=3). Экспоненциальный рост. На малых числах разница незаметна, на больших — геометрическая прогрессия обгоняет многократно.