Калькулятор комбинаторики

Введите данные
Результат
Сочетания C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
120
Размещения A(n,k) = n! / (n-k)!
720
Перестановки P(n) = n!
3 628 800
Сочетания с повторениями C̄(n,k) = C(n+k-1,k)
220
Размещения с повторениями n^k
1 000

Смотрите также

Калькулятор дробей Калькулятор теоремы Пифагора Калькулятор дискриминанта квадратного уравнения

Калькулятор вычисляет основные формулы комбинаторики: сочетания C(n,k) — порядок не важен (выбрать 3 из 10), размещения A(n,k) — порядок важен, перестановки P(n) — все n элементов в разном порядке. Ограничение: n ≤ 20 (большие числа выходят за пределы точности JavaScript).

Официальный источник: Минпросвещения России

Когда что использовать

Сочетания C(n,k): выбрать 6 чисел в лотерее из 45 (порядок не важен). Делегация из 3 человек из отдела 10. Рука из 5 карт из 52. Формула: C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!). Размещения A(n,k): позолоченные медали (1, 2, 3 место) из 10 участников. Пароль из 4 цифр из 10 без повторений. Формула: A(n,k) = n! / (n−k)!. Перестановки P(n): число способов расставить n книг на полке, n = k.

Треугольник Паскаля

C(n,k) образуют треугольник Паскаля, где каждое число = сумма двух над ним. Строка 0: 1. Строка 1: 1 1. Строка 2: 1 2 1 (C(2,0), C(2,1), C(2,2)). Строка 4: 1 4 6 4 1. Строка 5: 1 5 10 10 5 1. Свойства: симметрия C(n,k) = C(n,n-k). Сумма строки n = 2ⁿ (все подмножества из n элементов). Формула бинома Ньютона: (a+b)ⁿ = ΣC(n,k)×aⁿ⁻ᵏ×bᵏ.

Часто задаваемые вопросы

Какова вероятность выиграть в лотерею «6 из 45»?
C(45,6) = 45! / (6! × 39!) = 8 145 060 вариантов. Вероятность = 1 / 8 145 060 ≈ 0.000012% за один билет. В «6 из 49» (Спортлото): C(49,6) = 13 983 816. Если угадать 5 из 6: C(6,5) × C(43,1) = 6 × 43 = 258 вариантов, вероятность ≈ 258/13983816 ≈ 1 к 54 200.
0! = 1 — почему?
По определению 0! = 1, так как это пустое произведение (произведение нуля сомножителей). Математически: n! = n × (n-1)!, значит 1! = 1 × 0!, 1 = 0!, то есть 0! = 1. Практически: число способов расставить 0 предметов = 1 (один способ — ничего не делать). Также C(n,0) = n! / (0! × n!) = 1, что правильно: 1 способ выбрать 0 элементов.