Калькулятор системы двух линейных уравнений

Введите данные
Результат
Определитель D = ad−bc
-5
Определитель Dx = ed−bf
-10
Определитель Dy = af−ce
-5
x = Dx / D
2
y = Dy / D
1

Смотрите также

Калькулятор дискриминанта квадратного уравнения Калькулятор пропорций Калькулятор комбинаторики

Калькулятор решает систему двух линейных уравнений: { ax + by = e; cx + dy = f } методом Крамера. Введите коэффициенты a, b, c, d и правые части e, f. Если определитель D=0 — система либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много.

Официальный источник: Минпросвещения России

Метод Крамера

D = |a b; c d| = ad − bc. Dx = |e b; f d| = ed − bf. Dy = |a e; c f| = af − ce. Если D ≠ 0: x = Dx/D, y = Dy/D — единственное решение. Если D = 0, Dx = 0, Dy = 0: бесконечно много решений (уравнения пропорциональны). Если D = 0 и хоть один из Dx, Dy ≠ 0: нет решений (несовместная система). Пример: 2x + 3y = 7; x − y = 1. D = 2×(−1)−3×1 = −5. Dx = 7×(−1)−3×1 = −10. Dy = 2×1−1×7 = −5. x = (−10)/(−5) = 2, y = (−5)/(−5) = 1.

Другие методы решения систем

Метод подстановки: из одного уравнения выражают одну переменную и подставляют в другое. Метод сложения (исключения): умножают уравнения так, чтобы один коэффициент стал противоположным, складывают. Матричный метод: X = A⁻¹ × B. Графический: точка пересечения двух прямых. Для систем 3×3 и более: метод Гаусса (прямой ход + обратная подстановка).

Часто задаваемые вопросы

Как проверить решение системы уравнений?
Подставьте найденные x и y в оба исходных уравнения. Если равенства выполняются — решение верно. Пример: x=2, y=1. Первое: 2×2 + 3×1 = 4+3 = 7 ✓. Второе: 2 − 1 = 1 ✓. Погрешность вычислений: если результат отличается от правой части на <10⁻⁶ — это погрешность округления, решение верно.
Что значит несовместная система?
Несовместная система — та, которая не имеет решений. Геометрически: два уравнения описывают параллельные прямые (они не пересекаются). Признак: D=0, но Dx≠0 или Dy≠0. Пример несовместной: x+y=3; x+y=5 — D=1×1−1×1=0, Dx=3×1−1×5=−2≠0. Неопределённая система: D=Dx=Dy=0, прямые совпадают — бесконечно много решений (x = t, y = (e−at)/b при любом t).